座標平面上の一対一の対応による図形の像 （上級問題精講405）
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数学リストランテへようこそ。
今日考えていく問題は、上級問題精講を参照しました京都大学の問題です。
このブログでよく取り扱う参考書
まずイメージできるのは点pが決まるとそれに対応する点qが一意に定まるということですよね。つまりこの問題では、ある範囲を点pが動く時の点qの動きを図示してくださいよ。という問題なわけです。
初めに言ったとおり点qは点pと一対一に対応していますから、p、qの関係式が得られるはずであって、点pの範囲も問題文で記されていますから、、、
といった計画が立てれますね。
まず点pとqの関係式を求めて行きます。
大体2通りの方法があると思います。ひとつ目はq1とq2を結んだ直線は円と接線との関係から求められて、かつqの図形的な意味を考えますと、対称性より直線opの上にも乗っかっているので、その二式を連立させれば関係式が求められそうです。
ふたつ目は少し高度になりますが、opqが一直線上にあることよりopがoqの実数倍で表せ、q1q2とopが垂直という関係を相似を使って解消するとopとoqの積が1、定数となります。
ここでqを（X,Y）とでもおいて、
このように関係式を導けます。あとはabのみたす条件にぶち込みましょう。
と解説されれば納得できます、が、なぜopがoqの実数倍で表せといったようにopをoqで置いたのでしょうか。普通に考えてpからqが生まれてるわけだからoqをopで置くべきと考えるでしょう。僕もそうでした。なぜこのような置き方にするのでしょうか。
こういう問題を生で解く生徒からしか見えない疑問を一緒に考えるのがこのブログの目指している形です。共感してくれると嬉しいです。
では考えていきましょう。opをoqで置くと上の変形のように（a.b）がXYで表すことができ、（a.b）をそのまま条件に打ち込むことができます。ではoqをopで置くと、、
逆にXYがabで表せますが、条件が与えられているのはabなのでこの関係式はこの問題では意味を成しません。
この問題の肝は、条件が使えるようには（a.b）= となるようにしないといけない。だからopが簡単になるように関係式を立てていかないといけない。というところであって、単に関係式を導くだけでは元の条件が使えず意味をなさなくなってしまうので、脳筋で関係式を求めにいくんじゃなくて、なぜその関係式を求めるのかという根本的な事を意識しないといけない問題でした。
Grazie! 最後までご覧いただきありがとうございました。
