3次関数のグラフと接線に関する面積 （上級問題精講512）
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今回考える問題は上級問題精講を参照しました東京大学の問題です。
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ほうほう、まず接線lか。Pにおける接線は、y'がこうだからこうなってQが、、、。
まさに地獄沼です。計画性もなくただ突っ走るのは危険です。
まず漠然としたイメージでもいいので何を第一の目標にしますか。
lとCで囲まれた部分の面積S1とmとCで囲まれた部分の面積S2ですよね。
この面積求めるには何が欲しいですか？まずS1について考えてください。
（以下Pのx座標をp、Qのx座標をqとします。）
（んー、、、lをCで引いたかCをlで引いたか分からないけど、その関数をpからqで積分した絶対値かなー。）
そうです。究極を言えば接線lとかCとかがはっきりと分かっていなくても、上の太線部のその関数をpからqで積分した絶対値さえあればいいんですよね。
初めにqをpで置くことに挫折していますからp,qの2文字を使いましょう。
(x-p)^2(x-q)をpからqまで積分した絶対値ですよね。
(x-p)^2(x-q)をpからqまで積分を部分積分をするなりして変形しましょう。
すると-1/12(q-p)^4と変形できてその絶対値は1/12(q-p)^4です。
S2にも同じ操作を施します。（mとCの交点でQ以外のものをRとしてそのx座標をrとします）
するとS1＝-1/12(q-p)^4 、S2＝-1/12(r-q)^4 と表せます。とても見やすいくなりました。さあp→q、q→rと確定していくイメージがあるのでこの関係式ができそうです。そしてS1とS2をの比ということですが、pをqで表し、rをqで表し太線部に代入するとqだけの式になりこれらの比がqが消えうまいこと定数になるんだなと目星をつけましょう。というか一定であるってゆうオチが問題文で保証されているので、ガンガン進めましょう。
残るはpとq、qとrの関係式を出すだけです。まずpとqについて考えましょう、qとrは同じことをするだけです。
まず(x-p)^2(x-q)この式に注目するでしょう。他に表し方は？初めに挫折しましたが接線とCをいじっくったら出そうです。ここで何か気づきませんか。Cは3次、lは1次です。Cとlを加減してもその関数は3次、2次の係数がCに等しく一定です。ここでKKKですね。（解と係数の関係）2次の係数を比較して2p+q=-a。出てきました。qとrも同じく導けてあとは代入するだけです。。
（余談ですが、確か2018年の大学への数学月間誌に重解と相性がいいのはKKKという一説がありました。）
今回の問題で伝えたいのは青線部です。やはり突っ走る時は計画性を持って突っ走りましょう。適当に走っていてもゴールに辿り着けないし、もし辿り着けてもそれは運要素が強くて実力として身に付きません。日々の演習から計画性を持って問題に取り組みましょう。
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