こんなところに！？集合の包容関係の大切さ

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数学リストランテへようこそ。

今回考える問題は京都大学の問題です。この問題も非常に良い問題で、上級問題精講では506、入試数学の掌握（総論編）ではcheck!2で扱われています。解法はほとんど同じです。（入試問題の掌握も大変良い参考書だと思います）

このブログでよく取り扱う参考書

では考えていきましょう。

この問題は初めの掴みが重要になってくると思います。さあどう噛み砕きますか？

まず後半部のどの点からもこの3次関数のグラフに接線が3本弾ける領域をDとでもしましょうか。すると問題文の題意はどのように変換できますか？Aの点の集合がDの点の集合の部分集合となればいいんですよね。難しいですが頑張って理解しましょう。

問題文はAにある点だったら、どの点からもこの3次関数のグラフに接線が3本弾けるって言ってるんですよね。太線部を見てください。さっきその領域をDと置きましたよね。

なのでA→Dが成り立つってことで、それは集合的に見たらAの点の集合がDの点の集合の部分集合となるってことですよね。なるほど全体像がわかりましたね。

Aは与えられていますから、あとはDを求めて集合の包容関係に帰着させます。

Dですが、まず接線系の問題は接点のx座標を置けってゆう典型的な解法に沿っていきましょう。それをtとか置いて実際に接線を求めます。そしてDの点を(a,b)とでも置いて求めた接線のxyに代入、その関係式をtの方程式とみたしtが異なる3つの実数解をもつような(a,b)をもとめたらそれがDです。

次に集合の包容関係ですが、上級問題精講と入試数学の掌握（総論編）は共に必要条件→十分条件の確認と丁寧に求めていますが、僕はy=kxの方はすぐ求めて、y=x^3+kxの方はy=x^3+kxとy=-1がx>1の範囲で実数解を持たないってゆうそのまま必要十分条件を求める方が簡単だと思います。

ここらへんは自分で手を動かして各問題集で確認しましょう。

どうでしたか？赤線分で勝負あったって感じですが逆にこの変換が出来ないと手も足も出ない問題なのかなと思います。また、入試数学の掌握（総論編）では2変数の全称系では領域の導入が極めて有効という一文が猛プッシュされているので、頭の片隅に置いておきましょう。

Grazie! 最後までご覧いただきありがとうございました。