順像法・ファクシミリの定理 （上級問題精講412）
Ciao!
数学リストランテへようこそ。
前回までの投稿はほぼ全てが逆像法に関するもので、逆像法愛が溢れ出るブログサイトのように見えますが、順像法もまた大切な考え方です。
では問題に入っていきましょう。
今日考えるのは上級問題精講を参照しました東京大学の問題です。
このブログでよく取り扱う参考書
個人的にすごい良い問題だな、と思います。
この問題を初めて解いたのは僕の愛用する大学への数学から出ている新数学スタンダード演習ってゆう問題集なのですが、（いずれかは自分が愛用してきた問題集・参考書の紹介をしたいのです）そこにのっていた解答では順像法を使っており、上級問題精講の解答では逆像法が使われていたのですが、どちらの解き方でも非常に解きがいのある問題になっています。
まず何をしますか？シンプルにABの式を出しますよね。そこからどうしましょう。
まず逆像法の解答ですがそのxytの関係式をtの方程式とみてtが0から1までに実数解を持つように、と解の配置問題に帰着できますよね。その時f(t)などと置いて微分して増減の場合分けをして、その場の条件の言い換えをするってゆうまあ少し苦労する解答になりますが解ききれそうですよね。いい解答です。上級問題精講ではこの解法が使われています。
では考え方を変えましょう。
もしこの問題がxyの一次の関係式ではなくaの一次の関係式だったらどうしますか？
ほとんどの人はaを文字分離してその関数をg(t)とかしてその動きを見ますよね。
これxyでも応用できませんか？例えばxを固定して、yを上のaに置き換えたらって考えたらどうですか。イメージ湧きますよね。
こんな感じでしょうか笑。
まとめると、xをあるxと固定してその時のyをtの関数とみてどのように動くかってゆうのを全てのxについてやるみたいな感じですね。（ここでゆうどのように動くかはこのtの関数は連続なのでその区間での最小値から最大値までyはうごけますよって意味です）解き進めているとわかるんですがこれもxによって場合分けが発生し、その場合の最小最大を求めるのでたいして逆像法と計算量は変わりません。ですが、僕のイメージ解の配置問題ってアバウトに議論進めちゃう時が多いんでこっちの方が正確性はあるかなと思います。
ちなみに2変数関数でどちらか一方を固定するってゆう考え方はとても有効です。（2変数関数に関する記事も書きたい）
この問題で吸収したい考え方は棒線部の部分で、数学オリンピックの問題でも効果的に使えることが多いのですが、難しい問題から簡単な問題を作って、その簡単な問題で使った考え方を難しい問題にも応用するというものです。
Grazie! 最後までご覧いただきありがとうございました。
